1、线性空间的定义
设V是一个以α，β，γ，...为元素的非空集合，F是一个数域，在其中定义两种运算，一种叫加法：
α，β∈V，α+β∈V；另一种叫数量乘法：k∈F, α∈V, kα∈V,并且满足下面八条运算法则：
（1）加法交换律：α+β = β+α；
（2）加法结合律：（α+β）+ γ = α+（β+γ）；
（3）V中存在零元素：
,记
；
（4）负元素存在：
；
（5）数乘结合律：
；
（6）存在
；
（7）分配律：
；
（8）分配律：
，
则称V为数域F上的线性空间。V中元素称为向量。F为实（复）数域时，称V是实（复）线性空间。
2、欧式空间与酉空间
对数域F上的n维线性空间
，定义了一个从
中向量到数域F的二元运算，记为
，即
，如果满足
（1）对称性：
，其中
表示复数
的共轭；
（2）线性性：
（3）正定性：
的充要条件是
则称是的一个内积，并称其中定义了内积的线性空间
为内积空间。
如果是实数域R上的线性空间
，则
为实内积，对称性相应为
，
为欧式空间（Euclidean Space）
同理是复数域C上的线性空间
时，
为复内积，称
为酉空间（Unitary Space）。
以下摘录自知乎：
欧氏空间可以理解为几何空间的度量性在线性空间推广的结果。
线性空间缺乏度量性，不能在线性空间上描述向量的长度及向量间的夹角，这一不足制约了线性空间的使用。参考几何空间，向量的长度及向量间的夹角在几何空间都能通过向量的内积来定义，因此只要在线性空间加入内积这一运算，就能让线性空间具有度量性。
对几何空间的内积进行抽象，可知其本质为几何空间到实数域的一个二元映射，且这种映射具有对称性、左线性及正定性。于是，做下述定义。
欧氏空间：设A是一个实数域上的线性空间，定义一个A到实数域R的二元映射f，使得A中任意两个向量在R中都有唯一确定的数与之对应，若f满足以下三点：
任意α、β、γ∈A，任意k、l∈R
（1）f(α, β) = f(β, α) ；（对称性）
（2）f(kα + lβ, γ) = kf(α, γ) + lf(β, γ) ；（左线性）
（3）当α ≠ 0时，f(α, α) ＞0；（正定性）
则称f为A的内积，A就称为欧氏空间。简而言之，欧氏空间就是具有了内积的线性空间。